Matematika Diskrit kampus milenial ITBI

Nama : IRNA MARLIANA SIREGAR

Kelas : Pagi

Jurusan : Informatika

soal !

1. Apakah yang dimaksud dengan metode pembuktian secara induksi matematika?
2. Jelaskan langkah-langkah penyelesaian masalah menggunakan induksi matematika.
3. Buatlah 3 contoh pembuktian dengan induksi matematika.!

jawaban

1. Induksi matematika menjadi sebuah metode pembuktian secara deduktif yang digunakan untuk membuktikan suatu pernyataan benar atau salah. Dimana merupakan suatu proses atau aktivitas berpikir untuk menarik kesimpulan berdasarkan pada kebenaran pernyataan yang berlaku secara umum sehingga pada pernyataan khusus atau tertentu juga bisa berlaku benar. Dalam induksi matematika ini, variabel dari suatu perumusan dibuktikan sebagai anggota dari himpunan bilangan asli.

2. Ada tiga langkah dalam induksi matematika yang diperlukan untuk membuktikan suatu rumus atau pernyataan. Langkah-langkah tersebut adalah :

Membuktikan bahwa rumus atau pernyataan tersebut benar untuk n = 1.
Mengasumsikan bahwa rumus atau pernyataan tersebut benar untuk n = k.
Membuktikan bahwa rumus atau pernyataan tersebut benar untuk n = k + 1.

Untuk menerapkan induksi matematika, kita harus bisa menyatakan pernyataan P (k + 1) ke dalam pernyataan P(k) yang diberikan. Untuk meyatakan persamaan P (k + 1), substitusikan kuantitas k + 1 kedalam pernyataan P(k).

3. Contoh Soal 1

Buktikan bahwa $1^3 + 2^3 + 3^3 + \cdots + n^3 = \frac{1}{4} n^2 (n + 1)^2$ .

Pembahasan:

Langkah 1

$1^3 = \frac{1}{4}(1)^2(1 + 1)^2 = \frac{2^2}{4}$

$1 = 1$ (terbukti)

Langkah 2 (n = k)

$1^3 + 2^3 + 3^3 + \cdots + k^3 = \frac{1}{4}k^2(k + 1)^2$

Langkah 3 (n = k + 1)

$1^3 + 2^3 + 3^3 + \cdots + k^3(k + 1)^3 = \frac{1}{4}(k + 1)^2 (k + 2)^3$ .

$1^3 + 2^3 + 3^3 + \cdots + k^3 + (k + 1 )^3 + (k + 1)^3 = \frac{1}{4}k^2(k + 1)^2 + (k + 1)^3$ (kedua ruas ditambah $(k + 1)^3$ .

$1^3 + 2^3 + 3^3 + \cdots + (k + 1)^3= (k + 1)^2 (\frac{1}{4}k^2 + (k + 1))$

$1^3 + 2^3 + 3^3 + \cdots + k^3 + (k +1)^3 = (k + 1)$

$1^3 + 2^3 + 3^3 + \cdots + k^3 + (k + 1)^3 = \frac{1}{4}(k + 1)^2 (k^2 + 4k + 4)$

$1^3 + 2^3 +3^3 + \cdots + k^3 + (k + 1)^3 = \frac{1}{4}(k + 1)^2(k + 2)(k + 2)$

$1^3 + 2^3 + 3^3 + \cdots + k^3 + (k + 1)^3 = \frac{1}{4}(k + 1)^2(k + 2)^2$ {terbukti).

Contoh Soal 2

Buktikan bahwa

$\frac{1}{2} + \frac{2}{2^2} + \frac{3}{2^3} + \cdots + \frac{n}{2^n} = 2 - \frac{n + 2}{2^n}$

Pembahasan:

Langkah 1

$\frac{1}{2} = 2 - \frac{(1)+2}{2^1} = 2 - \frac{3}{2}$

$\frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ (terbukti)

Langkah 2 (n = k)

$\frac{1}{2} + \frac{2}{2^2} + \cdots + \frac{2}{2^k} = 2 - \frac{k + 2}{2^k}$

Langkah 3 (n = k + 1)

$\frac{1}{2} + \frac{2}{2^2} + \frac{3}{2^3} + \cdots + \frac{k}{2^k} + \frac{k + 1}{2^{k + 1}} = 2 - \frac{k + 3}{2 ^{k +1}}$

Dibuktikan dengan:

$= \frac{1}{2} + \frac{2}{2^2} + \frac{3}{2^3} + \cdots + \frac{k}{2^k} + \frac{k + 1}{2^{k + 1}} = 2 - \frac{k + 2}{2^k} + \frac{k + 1}{2^{k + 1}}$ (kedua ruas dikali $\frac{k+1}{2^{k+1}}$ )

$= 2 - \frac{2(k + 2)}{2^{(k + 1)}} + \frac{k + 1}{2^{k +1}}$ (2^k dimodifikasi menjadi 2^k+1)

$= 2 -\frac{2k + 4}{2^{(k + 1)}} + \frac{k + 1}{2^{k + 1}}$

$= 2 + \frac{k + 1 - (2k + 4))}{2^{(k + 1)}}$

$= 2 - \frac{k + 3}{2^{(k + 1)}}$ (terbukti)

Contoh Soal 3

Buktikan bahwa $3^{2n} + 2{2n + 2}$ habis dibagi 5.

Pembahasan:

Langkah 1

$3^{2(1)} + 2^{2(1)+2} = 3^2 + 2^4 = 9 + 16 = 25$ habis dibagi 5 (terbukti)

Langkah 2 (n = k)

$3^{2k} + 2^{2k+2}$

Langkah 3 (n = k + 1)

$3^{2(k+1)} + 2^{2(k+1)+2}$

$= 3^{2k+2} + 2^{2k+2+2}$

$= 3^2(3^{2k}) + 2^2(2^{2k+2})$ (dalam kurung dibuat sama

dengan bentuk soal)

$=10(3^{2k}) + 5(2^{2k+2}) - 3^{2k} - 2^{2k+2}$ ( $3^2$ dibuat 10 dan $2^2$ dibuat 5, agar bisa dibagi 5)

$= 10(3^{2k}) + 5(2^{2k+2}) - (3^{2k} + 2^{2k+2})$

Didapatkan :

$10(3^{2k})$ habis dibagi 5
$5(2^{2k+2})$ habis dibagi 5
$-(3^{2k}) + 2^{2k+2}$ sama dengan langkah 2, habis dibagi 5

Nama : IRNA MARLIANA SIREGAR

Kelas : Pagi

Jurusan : Informatika

SOAL:
A. Buatlah 3 contoh soal dan penyelesaian teori Graf yang sudah anda pelajari di pertemuan 8.
B. Buat representasi relasi berikut dalam diagram.

   1) R = {(A, B)} = {(1,2), (1,3), (-1,5), (0,2)}
   2) R = {(M, N)} = {(10,2), (11,3), (12,2), (13,3), (13,2), (14,0)}
   3) R = {(X, Y)} = {(1,1), (1,2), (1,3), (2,2), (2,3), (3,3)}

JAWAB :

A. 1. Gambarkan sebuah graf yang terdiri dari 6 titik, reguler-2, dan terdiri dari 2 komponen?

Graf berikut memuat 6 titik (s, t, u, x, y, z), reguler -2 ( setiap titik berderajat 2), dan terdiri dari 2 komponen.

2. Buatlah Matrix Ruas dari graf dibawah ini !

Jb.

3. Nyatakan Graf Berarah di bawah ini dengan matriks Sirkuit!

Jb.

Ada 4 sirkuit pada graf tersebut, masing – masing sirkuit itu adalah

S1 = v4 v6 v4

S2 = v2 v4 v5 v2

S3 = v1 v2 v5 v1

S4 = v1 v2 v4 v5 v1

Misalkan orientasi yang dipilih pada S2 dan S3 sesuai dengan arah jarum jam, sedangkan pada S1 dan S4 berlawanan dengan arah jarum jam. Dengan demikian, matriks sirkuitnya adalah:

B.
1) R = {(A, B)} = {(1,2), (1,3), (-1,5), (0,2)}

2) R = {(M, N)} = {(10,2), (11,3), (12,2), (13,3), (13,2), (14,0)}

3) R = {(X, Y)} = {(1,1), (1,2), (1,3), (2,2), (2,3), (3,3)}

Matematika Diskrit kampus milenial ITBI

Minggu, 17 Januari 2021

Mandiri 5 - Matematika Diskrit 1 Kampus Milenial ITBI Semester 1 (SATU)

Contoh Soal 2

Contoh Soal 3

Minggu, 20 Desember 2020

Mandiri 4 - Matematika Diskrit 1 Kampus Milenial ITBI Semester 1 (SATU)

Sabtu, 28 November 2020

UTS Matematika Diskrit 1 Kampus Milenial ITBI Semester 1 (SATU)

Mandiri 1 - Matematika Diskrit 1 Kampus Milenial ITBI Semester 1 (SATU)

Mandiri 2 - Matematika Diskrit 1 Kampus Milenial ITBI Semester 1 (SATU)

Mandiri 3 - Matematika Diskrit 1 Kampus Milenial ITBI Semester 1 (SATU)

UAS Matematika Diskrit 1 Kampus Milenial ITBI Semester 1 (SATU)

Laporkan Penyalahgunaan